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Zernike面型–简介

随着面型加工以及检测技术的发展，越来越多的自由曲面面型被应用到光学设计中，包括XY多项式曲面、Zernike曲面、Q-Type曲面、切比雪夫曲面、径向基函数曲面等。自由曲面凭借其高自由度的面型变化在像差矫正、配光照明等方面，相对于传统的曲面，有着非常大的优势，不仅可以将像差矫正（在照明方面则是得到预定的光能量分布），而且可以减少光学元件的数量，极大的压低成本和减小体积。计划出一个专题讲解在光学设计和加工中常使用的自由曲面，主要讲解面型的起源、光学应用、以及其各项分别对应的形状，便于在光学设计过程中，可以选择相应的项进行优化，达到设计目标。
首先从Zernike多项式的面型起源开始讲解，以2-3篇文章谈谈对于Zernike多项式的理解。Zernike多项式是由其发明人Zernike的名字命名的，其最大的优势就是其各项与像差项一一对应，可以针对性的选取项数进行优化，消除特定的像差。并且其拥有在单位圆（矢径积分的上下限为0-1， 角度积分的上下限为0-2pi）域内的正交性，所以Zernike多项式也称为正交多项式，正交性可以描述为：

Zernike面型--简介

当m≠n时，其积分的值为0

当m=n时，其积分的值不为0

为了更好地理解Zernike面型的优势，就需要理解Zernike面型各项之间相互正交是什么意思。可以进行类比的理解，在线性代数中，当两个向量互相正交，表明这两个向量的内积为0，这两个向量无法互相线性表出；类比地当两个多项式互相正交，也是其内积为0，这两个多项式也无法互相“线性表出”。正交多项式内的各项系数不会互相影响，避免了各项之间互相干扰或者冗余现象。
Zernike多项式拥有单位圆域内的正交性，其非常适合光瞳为圆形的光学系统。在圆形光瞳光学系统内可使用Zernike多项式来描述光学面并进行优化；还有一种常见的矩形光瞳的光学系统，这类光学系统可使用切比雪夫多项式进行描述，切比雪夫多项式为矩形域内正交多项式。
Zernike多项式分为标准Zernike多项式和条纹Zernike多项式。因为条纹Zernike多项式的排序与像差排序更为一致，条纹Zernike多项式被更多地使用。要很好地理解条纹Zernike多项式，就需要理解其各项多对应的面型，以及为什么该面型会带来其所对应的像差。下图为条纹Zernike多项式前9项图示，以及其所对应的像差。

 

Zernike面型--简介

Z1–Piston

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