双波长超快光纤激光器中耗散孤子分子的动力学

孤子，由于局域波在传播过程中保持其形状，在光学、流体、玻色-爱因斯坦凝聚体和场论中引起了大量研究关注。特别是，耗散孤子依赖于增益和损耗以及非线性和色散的双重平衡，表现出多样化的孤子相互作用。锁模光纤激光器作为一个绝对耗散系统，表明了大量有趣的孤子动力学，即孤子建立、孤子分子、游荡波、孤子爆炸和呼吸孤子。特别是，作为与物质分子的类比，孤子分子表现出迷人的类粒子相互作用，例如，振动、合成和解离，这构成了孤子物理学中的基本问题。在耗散系统中，源自耗散效应的孤子尾部振荡结构将显著改变孤子相互作用的场景。除了静止孤子分子，还有动态孤子分子，其中单个孤子之间的时间间隔或相位差随时间变化，呼吸孤子分子经历周期性光谱和时间演变。

在单波长锁模激光器中，研究人员研究了孤子分子的大多数动态演化。然而，在双波长锁模光纤激光器中，孤子分子中的奇异孤子相互作用仍在很大程度上未被探索。众所周知，双波长由于不同波长的群速度差异，孤子周期性地相互碰撞。那么，一个基本问题仍然难以解决：双波长孤子分子在碰撞过程中是否表现出相似的演化特征。同时，孤子碰撞可以在超快光纤激光器中引发各种有趣的现象，如交叉偏振耦合、孤子爆炸和光怪波导致的弱脉冲形成。此外，双波长锁模光纤激光器在许多领域都有潜在的应用，例如，双频光谱、光通信网络和光学传感。双波长孤子碰撞中丰富的非线性动力学可能为在全光逻辑和通用计算中的应用铺平道路。双波长光纤激光器中的孤子分子可以通过提供一种新的编码方案来增加电信容量。从基本的观点来看，探索碰撞扰动下孤子分子的演化特性对于理解复杂非线性系统中孤子分子的一般动力学至关重要。因此，在研究双波长超快光纤激光器中耗散孤子分子的动力学方面需要付出更多的努力。

 

图1（a）双波长锁模光纤激光腔和实时检测系统示意图。（b）光谱仪记录的双波长单孤子的平均光谱。

为了用平衡光学互相关技术评估定时抖动，研究人员构建了两个具有相同重复率的激光器。这两台激光器的平均输出功率为510 mW，实测脉宽为140 fs。同时，用贴有隔音泡沫的丙烯酸盖屏蔽声学噪声（尤其是实验室仪器的风扇噪声）对于精密抖动测量至关重要。

用于产生双色孤子的实验装置是基于非线性偏振旋转的被动锁模掺铒光纤激光器[图1(a)]。光纤腔包括两个同轴偏振控制器（PC）、集成偏振相关隔离器的光学集成模块（OIM）、波分复用器（WDM）和10:90光耦合器（OC）。2.5米低掺杂掺铒光纤（EDF）作为增益介质，24.5米普通单模光纤SM-28e光纤在反常色散状态下工作。在单模光纤前后放置两台偏振控制器，以控制光波的偏振。通过很好地调谐偏振控制器和泵浦功率，可利用对应于不同波长的两个增益峰值来调整增益谱，从而导致双色孤子锁模状态。双色孤子的时间信息由20 GHz光电二极管（Agilent 83440C）直接检测并由20 GHz实时示波器（Lecroy SDA 820Zi-B）数字化，同时，光谱分析仪（OSA，YOKOGAWA 230 AQ6370D）和实时示波器使用时间拉伸色散傅里叶变换同时记录。色散傅里叶变换（DFT）分支由色散补偿光纤（DCF）线轴组成并由12GHz光电二极管（New Focus 1544-B）检测。

时间和光谱分辨率分别为50 ps和0.17 nm（0.30 nm）。光谱仪测量的光谱[图1(b)]对应于双色单孤子状态，孤子分子可以通过增加泵浦功率和操纵偏振设置来形成。蓝色孤子（1532.8 nm）和红色孤子（1561 nm）的往返时间分别为132.889 ns和132.899 ns，这导致了腔内每1.64 ms的周期性碰撞。

 

图2 碰撞过程中红/蓝孤子分子的不同演化特征。(a）-（d）红色孤子分子和蓝色孤子对的碰撞。(a) 双色孤子的色散傅里叶变换谱演化。（b） 放大（a）的绘图。（c）通过（a）中红色振荡孤子分子光谱的傅里叶变换计算的场自相关迹。（d） 与（b）中的几个典型往返相对应的单发频谱。（e）-（h）单个红色孤子和蓝色孤子分子的碰撞。（e）双色孤子碰撞的时间强度演化。（f） 相应的色散傅里叶变换谱演化。（g）-（f）中对应的场自相关迹演化。（h）放大（f）中虚线矩形的绘图。

红色或蓝色耗散孤子分子通过操纵偏振设置和泵浦功率产生，双色孤子分子的不同演化特征可以在碰撞过程中得到解决。具有振荡行为的红色孤子分子在30 mW的泵浦功率下产生且与蓝色孤子相比具有更高的增益谱强度。图2(a)中的红色孤子包含振荡孤子分子和单个静止孤子。这里，色散傅里叶变换色散为−182 ps/nm，因此，孤子分子和静止单孤子的光谱演化可以被单独观察而不模糊。色散傅里叶变换谱演化[图2(a)]表明，两个蓝色孤子与红色振荡孤子分子和单个静止孤子连续碰撞。图2(a)中虚线矩形的放大图[图2(b)]表明，在碰撞过程中，红色振荡孤子分子中有明显的色散波脱落。

如水平虚线所示的碰撞点[图2(b)]，在碰撞期间可以观察到双色孤子的明显光谱偏移。红色振荡孤子分子中脱落色散波的明显漂移可以通过图2(b)中的虚线矩形来解决并通过图2中的几个典型单次激发光谱进一步证实。碰撞后，红色振荡孤子分子中脱落的色散波逐渐向较长波长漂移[图2(d)中的黑色箭头]，最后随着往返次数的增加而消失。值得注意的是，碰撞后蓝色孤子上出现了一组光谱条纹[图2(b)]，归因于交叉相位调制触发的光孤子和色散波之间的干涉。在红色孤子分子的场自相关迹演化中可以发现明显的振荡行为，与图2中的光谱演化一致。红色振荡孤子分子的时间间隔为10 ps且在碰撞期间经历了单孤子瞬态湮灭和分裂[图2(c)中的虚线矩形]。然后，在孤子整形效应下，红色孤子分子恢复到初始的时间分离和振荡状态。

在固定泵浦功率为30 mW的情况下，通过改变偏振导致蓝色孤子分子的形成，在短波长处获得了更高的增益谱强度。涉及蓝色孤子分子的双色孤子碰撞的时间强度和色散傅里叶变换谱演化，如图2(e)和2(f)所示。相应的场自相关迹表明，来自时间间隔为50 ps的静止孤子对的蓝色孤子切换到脉冲间隔显著降低至17 ps的振荡状态[图2(g)]。明显的干涉条纹可以在光谱演化中得到解决[图2(h)]进一步证实了碰撞后蓝色孤子中脉冲间隔的显著减少。碰撞点由水平虚线表示。值得注意的是，在蓝色孤子碰撞后可以观察到一组光谱条纹[图2中的虚线矩形]，这归因于光孤子和色散波。在这里，时间间隔为50 ps的蓝色孤子对也可以被视为具有结合相互作用的孤子分子。由于极限色散补偿光纤色散，在碰撞前的色散傅里叶变换谱中没有发现干涉条纹−182 ps/nm。同时，在蓝色孤子分子碰撞过程中没有观察到孤子瞬态湮灭和分裂。

 

图3 （a）-（d）蓝色三孤子分子的形成。（a） 双色孤子碰撞的色散傅里叶变换谱演化（b）相应的场自相关迹演化。（c）时间脉冲分布和（d）对应于（b）中虚线矩形的场自相关迹的分析拟合。（e） -（h）具有强排斥和吸引相互作用的蓝色孤子分子的碰撞动力学。（e） 双色孤子碰撞的时间强度演化。（f） 相应的色散傅里叶变换谱演化。（g）放大（f）中蓝色孤子分子光谱演化图。（h）-（g）中对应的场自相关迹演化。

此外，通过将泵浦功率略微提升至36 mW（图3（a）和3（b）），形成了三重态蓝色孤子分子，在短波长下具有更高的增益谱强度。红色单稳态孤子在碰撞后迅速恢复到初始状态，而时间间隔为10.2 ps的蓝色双稳态OSM在碰撞过程中转变为具有复杂演化过程的三重态孤子分子。新的蓝色孤子在与背景噪声碰撞后生成，如自相关迹中增加的侧峰所示[图3(b)]。

同时，与双色振荡孤子分子相比，新生成的蓝色单孤子具有更窄的光谱带宽[图3(a)中的虚线矩形]，然后，单个蓝色孤子的光谱逐渐变宽并与双色振荡孤子分子干涉，最终形成具有不规则振动行为的三孤子分子。尽管蓝色孤子分子中的脉冲时间间隔小于50 ps的时间分辨率，这阻碍了在时域中直接观察脉冲分布，但时间脉冲分布可以根据自相关迹通过解析拟合确定。在分析过程中，分子内的每个孤子都是一个时间宽度为500 fs的秒形脉冲。这里，在计算中忽略了脉冲强度并从自相关迹推断出脉冲时间间隔[图3(b)中的虚线矩形]。解析拟合时间脉冲分布[图3(c)]表明，蓝色孤子分子中的三个孤子独立地以不规则振动演化。在分析拟合中，前导孤子作为参考脉冲，在演化过程中，与中间孤子相比，尾随孤子具有更大的时间振幅。孤子三重态分子（等脉冲间隔）和具有不等时间间隔的（2+1）型孤子分子之间的多重切换可以通过自相关迹中的红色热点来识别[图3(b)中的虚线矩形]。实验[图3(b)]和分析拟合自相关迹之间的比较，良好的一致性表明分析拟合结果令人满意。

继续保持蓝色孤子中较高的增益谱强度，双色孤子的数量可以通过将泵浦功率提升到42 mW来进一步增加[图3(e)]。蓝色孤子对包含五个在碰撞前具有较大时间间隔的孤子，红色孤子对包含一个振荡孤子和静止孤子[图3(e)和3(f)中的插图]。碰撞后，红色孤子迅速恢复到初始状态。相比之下，蓝色孤子的时间分离表明每次碰撞后都会有明显的变化[插图图3(e)对应于虚线矩形]。在与红色孤子的第一次碰撞期间，第一和第二蓝色孤子具有明显的时间排斥。然而，第三和第四个蓝色孤子表明时间间隔明显减少，从而形成双孤子分子。为了观察第三和第四个蓝色孤子的详细演化，图3(g)和3(h)中显示了色散傅里叶变换谱的放大和相应的场自相关迹演化。两个蓝色孤子的脉冲间隔在第一次碰撞后从55 ps迅速减小到9.3 ps，然后，开始紧密结合，形成具有不规则振动的双孤子分子。

在随后的演化过程中，蓝色孤子分子的时间分离逐渐增加到更大的值。蓝色孤子分子中2.8 ps和53 ps之间的脉冲间隔的多次剧烈变化可以对应于强的吸引和排斥相互作用来解决[图3(h)中的虚线矩形]。这种相互作用归因于蓝色孤子分子中两个脉冲之间的多重能量传递，导致前导和尾随孤子之间的显著强度差异。同样，在蓝色孤子分子中没有观察到孤子瞬态湮灭和分裂。在往返时间14050处第二次碰撞后，蓝色孤子分子的时间间隔快速增加，相应的干涉条纹在色散傅里叶变换谱中迅速消失[图3(g)]。最后，蓝色孤子分子转变为稳定的孤子对，时间间隔恒定为80 ps。

 

图4 双色孤子分子的碰撞动力学。（a）双色孤子的时间强度演化。（b） 相应的色散傅里叶变换谱演变。（c1）蓝孤子分子的色散傅里叶变换谱演化。（c2）相应的场自相关迹演化。（d1）红色孤子分子的色散傅里叶变换谱演化。（d2）相应的场自相关迹演化。（e1）放大（c1）和（c2）中虚线矩形的绘图。（e2）放大（d1）和（d2）中虚线矩形的绘图。（f1）蓝色振荡孤子分子和（f2）红色振荡孤子分子中相互作用空间内的内部自由度轨迹分别对应于（c1）和（d1）中的黑色虚线，即脉冲间间隔τ和相对相位φ，往返次数以彩色比例显示。

通过良好调谐偏振，双色孤子中的增益谱强度接近，在65 mW的泵浦功率下解决了双色孤子分子的碰撞。双色孤子在演化过程中都包含孤子分子和单孤子，如时间强度和色散傅里叶变换谱演化所示[图4(a)和4(b)]。红色振荡孤子分子的时间间隔在碰撞过程中没有显著变化[图4(d1)和4(d2)]，这在每次碰撞后迅速恢复到先前状态并保持几乎相同的脉冲间隔约为10 ps。图4(e2)中虚线矩形的放大图。4(d1)和4(d2)证实了具有62个往返周期的振荡周期的红色孤子分子的振荡行为。同时，蓝色孤子中的时间间隔在碰撞期间表现出显著的变化[图4(c1)和4(c2)]。蓝色孤子对的脉冲间隔在第一次碰撞后迅速减小并开始结合形成孤子分子。所形成的蓝色振荡孤子分子具有8.5 ps的时间间隔和78往返周期的振荡周期。图1和图2中虚线矩形的放大图[图4(e1)]。4(c1)和4(c2)进一步证实了蓝色孤子分子的振荡行为。然后，蓝色孤子分子中的时间间隔在第二次碰撞后迅速增加，对应于孤子分子跃迁到时间间隔为65 ps的稳定孤子对[图4(c2)]。

此外，双色振荡孤子分子的相关内部自由度由脉冲时间间隔τ和相对相位φ构成。对于蓝色振荡孤子分子中的内部动力学，内部运动在3D交互空间中可视化[图4(f1)对应于图4(c1)中的黑色虚线]，相对相位主要在两个固定转折点之间振荡。对于红色振荡孤子分子中的内部动力学，内部运动，如图4(f2)所示，对应于图4(d1)中的黑色虚线。滑动相演化涉及红色振荡孤子分子，受各成分之间持续强度差异的控制。同时，在相互作用空间的轨迹中，可以识别出950个往返周期附近的更大的准周期调制[图4(f2)]。振荡周期的差异[62（78）个红色（蓝色）振荡孤子分子的往返周期]、不同的时间间隔[10（8.5）ps红色（蓝色）振荡孤子分子]和双色振荡孤子分子的相对相位演变进一步证实了不同的振荡溶液可以共存于多脉冲情况，每个孤子分子以不同的方式周期性演变。

 

图5 双色振荡孤子分子动力学的分析拟合。（a）蓝色孤子分子的光谱演化。（b）代表（a）中相应的自相关迹演化。（c） 振荡相位动力学相对相位的演变。（d） 红色孤子分子的光谱演化。（e）代表 （d）中相应的自相关迹演化。（f）滑动相动力学相对相位的演变（分别对应于分析拟合和实验检索值的蓝线和绿线）。

为了再现双色振荡孤子分子中光谱演化的主要观察特征，研究人员在保持脉冲宽度不变的情况下，借助于一个简单的公式拟合了腔往返的相位演化。对于具有振荡相位演化的蓝色振荡孤子分子的光谱演化，研究人员使用以下方程对相对相位进行建模：φ(z)=φ0+Aφsin（z）。图5(c)（蓝线）中所示的分析拟合相位演变与实验结果[绿线对应于图4(e1)中的往返周期围为4000-4500。参数设置为φ0=0，振荡幅度Aφ=0.08π，z=0.18πn，脉冲时间间隔8.5 ps，n为往返次数。振荡孤子分子中的每个孤子被选择为具有时间宽度为300 fs的秒形轮廓。解析拟合光谱和自相关迹[图5(a)和5(b)]再现了蓝色振荡孤子分子的振荡特征阱[图4(e1)]。红色振荡孤子分子中的相对相位由简单方程φ(z)=φ0+Aφsin(z)+z建模。图5(f)（蓝线）中的滑动相位演变与实验检索值（绿线）非常吻合，其中，φ0=0，Aφ=0.07π，z=0.03πn，脉冲时间间隔10 ps。基于这些简单公式，解析拟合光谱和自相关迹（图5）令人信服地再现了实验结果[图4(e1)和4(e2)]，证实了双色孤子分子的独特振荡行为。

为了更深入地了解双色孤子分子在碰撞扰动下的演化，研究人员在集总传播模型中进行了数值模拟。双色孤子在光纤段内的传播用一个修正的非线性薛定谔方程对缓慢变化的脉冲包络进行建模。耗散项表示线性增益以及具有带宽的增益分布的高斯近似Ωg、 增益由g＝g0/(1+Ep/Es)表示，其中，g0是小信号增益，仅对于增益光纤是非零的，Ep是脉冲能量，Es是由泵浦功率确定的增益饱和能量。可饱和吸收体由非线性传输函数建模：T=1-q0/(1+P/Psat)，其中，q0是调制深度，P是瞬时脉冲功率，Psat是饱和功率。为了收敛到双色孤子状态，研究人员通过添加滤波器在掺铒光纤中采用了双峰增益谱作用，此外，将双色孤子的光场从光谱域中分离出来，以获得单独的时间强度演化。模拟中使用的参数遵循实验值。实验表明，复杂的孤子分子相互作用与增益谱强度密切相关，增益谱强度可以通过改变泵浦功率和偏振设置来控制，也与初始种子条件有关。因此，在模拟中调整参数Es、q0和Psat相当于调整泵浦功率和偏振，这可以调整双色孤子中脉冲之间的相互作用。

 

图6 双色孤子碰撞的模拟。（a）-（c）红色孤子分子和单个蓝色孤子的碰撞动力学。（a） 双色孤子光谱演化。对于红色孤子分子，（b）中的时间强度演化和（c）中的场自相关迹演化。（d） -（f）单个红色孤子和蓝色孤子分子的碰撞动力学。（d）双色孤子光谱演化。蓝色孤子分子的（e）中的时间强度演化和（f）中的场自相关迹演化。

模拟的双色孤子演化，Es=9.5 pJ，q0=0。Psat=20 W[图6(a)]包含蓝色单稳态孤子，红色振荡孤子分子与实验达成了良好的一致[图2(b)]。双色孤子光谱中的Kelly边带在碰撞过程中短暂消失，新的Kelly边带出现并在孤子自整形效应下进一步移回其初始波长。碰撞点由红色振荡孤子分子的时间演变中的红色虚线表示[图6(b)对应于图6(a)中的虚线矩形]。红色振荡孤子分子中的前导孤子瞬时湮灭并将能量传递给尾随孤子，这对应于碰撞期间光谱中干涉条纹的消失。然后，分裂为两个时间分离孤子的拖尾孤子快速增加并最终恢复到初始脉冲时间分离和振荡行为[图6(c)]，这与实验观察结果一致[图2(c)]。

在Es=9.7 pJ，q0=0。Psat=20 W的不同初始条件和泵浦功率下，包含蓝色孤子分子和单个红色孤子的双色孤子的模拟光谱演化，如图6(d)所示。物理过程类似于实验观察结果[图2(e)-2(h)]。碰撞点如图6(e)中红色虚线所示。蓝色孤子分子的详细时间演化[图6(e)和6(f)]表明，脉冲分离首先快速降低，然后在碰撞后增加，对应于强烈的吸引和排斥相互作用。静止的蓝色孤子分子跃迁到具有较小时间间隔的稳定振荡状态[图6(f)]，与实验结果非常一致[图2(g)]。

在这种锁模光纤激光器中，通过控制偏振和泵浦功率，可以在多种增益谱分布下形成红色和蓝色孤子分子。每个波长的增益谱强度可以互换，产生各种孤子组装形式，例如，单孤子、孤子对或孤子分子。此外，具有多重开关的三重蓝色孤子分子的形成表明了双色孤子的非弹性碰撞特性。由于独特的双峰增益谱特性，双色孤子分子在同一耗散系统中存在不同的振荡解。

此外，由于色散波强度的差异，双色孤子分子在碰撞过程中的明显不同的演化与俘获势密切相关。色散波尾覆盖相邻脉冲并通过交叉相位调制扰动它们。微扰导致孤子分子内的脉冲相互作用具有吸引力或排斥性。与蓝色孤子相比，红色孤子中的主要色散波强度明显更大，对应于更强的捕获势。因此，红色孤子分子在碰撞后快速恢复到其初始状态，而蓝色孤子分子表现出伴随着多重吸引和排斥相互作用的更剧烈的演化过程[图4(c2)和4(d2)]。

总之，研究人员揭示了双波长超快光纤激光器中耗散孤子分子的动力学。由于增益谱强度和俘获势的差异，双色孤子分子在碰撞过程中表现出明显不同的演化特征。红色孤子分子在碰撞后迅速恢复到初始状态，而蓝色孤子分子在时间分离和运转状态上表现出显著的变化。同时，研究人员还观察到了具有能量转移的蓝色孤子分子中的多重强烈排斥和吸引。具有多重开关的三重蓝色孤子分子的形成揭示了双色孤子的非弹性碰撞特性。双色孤子分子中共存的不同振荡解包括振荡和滑动相演化，证实了耗散系统的多稳定性。需要注意的是，双色孤子中的孤子相互作用严重依赖于增益谱分布且可能在不同的激光腔中发生变化，例如，超快钛宝石激光器、无源光纤振荡器和微谐振器。这些发现为耗散系统中孤子分子和孤子碰撞的动力学提供了新的视角并为复杂非线性科学的物理理解铺平了道路。