封面图：莫比乌斯带中的Berry相调控
来源: 论文作者团队（课题组）
近日，来自德国开姆尼茨工业大学Oliver G. Schmidt教授与德累斯顿莱布尼茨固态与材料研究所（Leibniz IFW Dresden）马利波博士的研究团队联合证实了一种在微型莫比乌斯带中生成和操纵光学Berry相的机理。在最新进展中，团队报道了第一个纯介质材料下的莫比乌斯带中Berry相的实验观测结果，并给予了其自由调控的理论及实验证明。
相关研究成果以“Experimental observation of Berry phases in optical Möbius-strip microcavities”为题于2022年12月22日发表在Nature Photonics[1]。论文第一作者为哈尔滨工业大学（深圳）电子与信息工程学院副教授王嘉威，论文通讯作者为莱布尼茨固态与材料研究所马利波博士及日本冲绳科学与技术研究院（Okinawa Institute of Science and Technology）李世龙博士。
意大利那不勒斯费德里科二世大学Bruno Piccirillo等人以“Tuning optical cavities by Möbius topology”为题在Nature Photonics为本工作撰写了亮点评述[2]。
相位因子是描述从宏观到亚纳米尺度的任何波动系统（如声波或光波）的关键量。它是物理学和工程学中众所周知的概念。
然而，物理学家保罗·狄拉克也指出：“The phase quantity was very well hidden in nature”（相位量在自然界中隐藏得很好）、 “Its physical significance is obscure”（它的物理意义是模糊的）。
在传统概念中，相位因子随时间变化，并且取决于系统能量。因此，常规相位因子也常被称为“动态相位”。
然而，存在另一种具有纯拓扑起源的相位因子，它与时间及系统能量无关。这种相位因子称为几何相位。它为量子力学中的规范场论的发展带来了重要的启示。光学中的几何相位在早期由印度物理学家 S. Pancharatnam率先做出解释，并在1983年由英国物理学家 Michael Berry总结推广为“Berry相位”。
将纸条的两端扭转180度并将它们连接在一起，即可轻松创建一个莫比乌斯带。你会发现这条丝带只有一个表面。它不能定向，不能区分内外或上下。由于这种特殊的拓扑特性，莫比乌斯带已成为无数数学论述、艺术表现和实际应用的对象（见图1）。莫比乌斯拓扑结构在许多物理系统中发挥着重要作用，例如已证实的磁性体系、芳香分子体系、拓扑绝缘体等等。
对于常规环形光学谐振腔而言，光波在其中以全反射进行传播时，其偏振属性不会发生改变。而莫比乌斯带的横截面通常是一个细长的矩形，其宽度W远大于厚度T。在此情况下，光的偏振将实现沿横截面的侧向进行对齐而产生转向，从而在完成一次回路时实现高达180度的偏转。
课题组在2013年提出纯介质莫比乌斯带中的Berry相为π的理论预测[3]。在莫比乌斯带中，Berry相的存在导致莫比乌斯带中光学共振不再发生于满足整数个波长倍数的共振条件，而可能发生在半整数处（见图2）。此外，课题组在2017年将该理论推广到等离激元共振体系下的金属莫比乌斯纳米带[4]。
图2：莫比乌斯带中的具有“半整数”模式数的光学共振
Nature Photonics所发表的最新论文首次从实验中揭示了微型莫比乌斯带中的Berry相位的存在及演变。该实验的巧妙之处在于创造了具有迥异拓扑属性的对照“扭曲带”结构。“扭曲带”模拟了莫比乌斯带的尺寸及曲率，但仍具备结构对称性，因此不具备拓扑非平庸性。
图3：莫比乌斯带（右下）与扭曲带（右上）的构造思路
图源：Nat. Photon. 17, 13–14 (2023).
Berry相对应于光波的Stokes参量在Poincaré球面演化形成的封闭曲面的方位角的一半，因此对应莫比乌斯带而言，相位值为π。而对于“扭曲带”而言，在Poincaré球面的演化轨迹显示其Berry相位累计为0（见图4）。通过对照两种结构，可在理论模拟和实验测量中验证Berry相位的演化。
图4：莫比乌斯带（左侧）与扭曲带（右侧）对应的光场在Poincaré球面演化轨迹
图源：Nat. Photon. 17, 120–125 (2023).
在过往的理论研究中，莫比乌斯结构往往被认为可支持单一的Berry相位值π。
本研究揭示，莫比乌斯带可支持线性或椭圆偏振的可变共振模式。通过改变莫比乌斯带的宽度 (W) 和厚度 (T) 之间的比率来调整共振光的椭圆率，从而可以操纵获得的Berry相位值（见图5）。此外，当莫比乌斯带的宽度减少到与其厚度相似时，其特殊的拓扑属性将会丧失，让位于常规的环形属性，导致Berry相位变为0。
这一系列发现意味着通过改变莫比乌斯带的设计，可自由调控其中的Berry相位值以及传播光的椭偏度。
研究发现莫比乌斯带优先支持电场主导分量平行于扭曲面的共振光，即面内（in-plane, IP）模式。除此之外，当条带厚度T与光波长相比足够大时，也可以支持电场主导分量垂直于扭曲面的谐振模式，即面外（out-of-plane, OP）模式。其行为类似于IP模式，也可以用于生成可变Berry相位。
图5：（a）通过调控莫比乌斯带中W/T的比值得到在0到π之间可调的Berry 相位值（b）在具有T/W=0.67的莫比乌斯带中电场模拟分布图，可清晰辨识椭圆偏振模式（c）Poincaré球面展示共振光的不同椭偏度与Berry相位的对应关系
图源：Nat. Photon. 17, 120–125 (2023).
本文在实验和理论两个层面上报道了合成任意Berry相的可行性，揭示了光子传播操控中的新维度。莫比乌斯波导结构的尺寸为微米级，比之前报道的自由空间形成的莫比乌斯形态光场小得多，可以在可见光到近红外光谱范围内工作。
这种微型化光学元件适用于新一代片上可集成系统，对基础物理和实际应用都具有出色的拓扑鲁棒性，为经典光学中全光操控、全光计算，以及量子层面的量子比特生成、操控及运算带来新的思路。
本研究的合作者还包括江苏大学印胤教授、莱布尼茨固态材料研究所Vladimir M. Fomin教授、Sreeramulu Valligatla博士、Lukas Schwarz博士、Mariana Medina-Sánchez博士、Stefan Baunack博士、新加坡国立大学Ching Hua Lee教授和德国乌尔兹堡大学Ronny Thomale教授。该研究受到了乌尔兹堡-德累斯顿卓越研究集群“量子物质中的复杂性及拓扑性”（ct.qmat）项目、德国科学基金会莱布尼茨项目以及中国国家自然科学基金的资助和支持。
[1] Wang, J., Valligatla, S., Yin, Y. et al. Experimental observation of Berry phases in optical Möbius-strip microcavities. Nat. Photon. 17, 120–125 (2023).
https://doi.org/10.1038/s41566-022-01107-7
[2] Piccirillo, B., Vicuña-Hernández, V. Tuning optical cavities by Möbius topology.
Nat. Photon. 17, 13–14 (2023).
[3] Li, S., Ma, L.. Fomin, V. M. et al. Non-integer optical modes in a Möbius-ring resonator,
arXiv (2013).
[4] Yin, Y., Li, S., Engemaier, V. et al. Topology induced anomalous plasmon modes in metallic Möbius nanorings,
Laser & Photonics Rev. 11, 1600219 (2017).
