利用对称原理定制涡旋模式的拓扑荷

基于轨道角动量的应用的核心是涡旋模式的高效生成。通常，光学涡旋模式可由螺旋相位板、计算全息图、柱面模式转换器和Q板产生。然而，这些传统设备体积庞大，因此，无法直接应用于集成光学或光子学。这一限制促使研究人员开发小型化器件。一方面，涡旋模式可以由超表面生成。超表面是沿面内方向的空间扩展片，沿面外方向具有亚波长厚度，可以沿电磁波传播路径引入突变相移，从而改变波的传播方向。广义Snell定律很好地描述了波的反射和折射。因此，在裁剪以生成涡旋模式时，超表面被划分为多个部分，每个部分负责引入特定的相变。因此，超表面具有“结构”轨道角动量，可以将入射波前扭曲成螺旋形状。

另一方面，有限范围的电磁散射体可以产生涡旋模式。例如，在微波频率下，天线呈圆形排列，以产生涡旋模式的旋转相位前沿。在这里，研究人员首先通过叠加阵列单元的远场对天线发射的涡旋模式进行定性分析，然后通过全波模拟对其进行定量研究。此外，微波涡旋模式可以通过保持旋转对称性的微波元粒子散射欺骗表面等离子体激元波或通过在具有旋转和反射对称性的微波谐振器中激发欺骗局部化表面等离子体激元来产生。前者在理论上受耦合模理论的指导，而后者则直接由全波模拟来解决。在太赫兹频率下，通过将涡旋光束的拓扑荷转移到欺骗局域表面等离子体激元中的拓扑荷，在有纹理的金属圆盘中实现了涡旋模式。由于纹理圆盘沿角度方向是周期性的，因此，电场的角度相关性用傅里叶级数展开，传输过程用模式展开法解释。在光学频率下，结合非厄米性，微环腔被认为是实现单轨道角动量激光的理想平台。众所周知，微环支持回音壁模式。由于微环腔的反射对称性，顺时针和逆时针传播的回音壁模式共存。在耦合模理论的帮助下，通过在微环顶部引入非隐逸性（即交替损耗/增益层）来选择单向循环，从而打破反射对称性。类似地，非隐逸性可以通过外部波导反馈回路来实现。在这里，增益和损耗是通过光泵浦和本征材料损耗来实现的。同样，在耦合模理论中，可以证明微环中两个反向循环波之间的简并可以消除。此外，最近的一些工作集中于等离子体涡旋透镜产生光学涡旋。等离子体涡旋透镜支持表面等离子体激元，通常具有高度的旋转对称性。自旋-轨道转换过程通过入射光束与等离子体涡旋透镜的相互作用实现。通过矢量圆柱波函数逼近等离子体涡旋透镜的近场，可以从理论上研究这一过程。这种理论近似与近场实验（例如近场扫描光学显微镜）非常吻合。最后，值得注意的是，电磁涡旋模式也可以通过光子晶体中的缺陷来实现。该缺陷降低了整个结构的对称性并诱导偶极和四极模式，这些模式的叠加导致光子晶体中的涡旋模式。

在这一节中，研究人员列出了将用于正文其余部分的理论要素和术语。有关涉及的数学概念的更多教学讨论可以在完善的教科书中找到。首先，研究人员研究有限群表示理论中最相关的概念，即投影算子。对于给定的组𝐺 投影算子由h对称运算组成。将投影运算符应用于任意函数将导致投影函数属于同一投影运算符。可以证明，属于不同不可约表示或属于同一不可约的不同行的两个投影函数是正交的。其次，众所周知，对于每个电磁散射问题，入射场与散射体的相互作用可以被描述。最后，如果散射体的几何结构在一组对称操作下保持不变，需要注意的是，基于纯对称变元的投影算子和Z算子是可交换的。

在本节中，研究人员将研究散射体对称性和入射场之间的相互作用。特别地，证明了基于散射体对称性得到的不可约表示对入射场进行了分类并进一步控制了场的相位分布和拓扑荷。由于投影操作符与频率无关，因此，在该部分的其余部分中抑制了频率变量。将相同的投影操作符应用于投影的事件场。本征函数在物理上可以解释为“入射场”，从这里开始称为“本征”入射场。由于投影算符完全基于对称变元构造，本征入射场反映了散射体对称性对其入射场的最基本限制。

通过求解风车的“本征”入射场，可以很容易地说明这些局限性。风车保持对称，形成D₄组（图1）。这个D₄群有五个不可约表示（图1c）。前四个不可约表示是一维而第五个不可约表示是二维。特别是，数值求解的“本征”入射场，对应于第一个不可约表示、第五个不可约表示的第一行和第二行，显示了拓扑荷𝑙=0，∓1（由标记的插图A1，E1，和E2，如图2所示）。

 

图1 风车结构示意图。a）假设橙色表示的结构由金属制成（例如，完美导电体）。它有八倍的对称性。这些对称性构成D₄组。标识操作标记为E。四个镜像𝑚_𝑥, 𝑚_𝑦 和𝑚₊, 𝑚₋, 是有关的镜像操作𝑥和𝑦轴和+和−对角线，由橙色、黄色、蓝色和洋红色标记。b）四个字段指向r₁，r₂，𝐫₃和𝐫₄用箭头表示。c）中D₄组分别标记为A₁，A₂，B₁，B₂，和E ,第五个不可替代者𝐸有两行分别用E₁和E₂标记。c）中橙色虚线包围的方框表示C₄组。

 

图2 图1a中风车“本征”入射场Z分量的图示。绘制风车上方圆形区域的场。a-f）绘制𝑧字段的组件。它们通过从蓝色到红色的颜色进行编码，以表示强度和相位变化。

对称性的作用可以通过图形进一步揭示（图3）。这里，研究人员通过使用方程中投影算子的定义，构造属于第五个不可约表示（图1c）第一行的本征入射场。该示例重点介绍名为的顶点𝐫₁，𝐫₂，𝐫₃，和𝐫₄。假设在𝐫₁个顶点，其他顶点处的场为零。然后，在D₄组应用于现场分布。对称操作可以影响偶极子的位置和方向。此外，变换后的场由第五个不可约表示（图1c中的第五个不可约表示）中第一行的对角线元素（更精确地说，元素的复共轭）加权。由于与镜像操作相对应的元素为零，只涉及旋转对称。因此，形成本征入射场。在该集合中，两个相邻点的字段（例如，比较𝐫₂个，其中一个位于𝐫₁） 有一个−𝜋/2相位差。相位差由第五个不可约表示的第一行控制。可以为第五个不可约表示的第二行构造类似的场分布（图1c）。唯一的区别是相对相位𝜋/2，因为第二行是第一行的复共轭。

 

图3 为属于第五个不可约表示第一行的“本征”入射场的构造示意图（图1c）。图的坐标系显示在第一个子图中，其中，x和y方向在图纸中，z方向指向图纸外。在每个子图中（除了“旋转（0）”情况和最终的“本征”入射场），原始矢量及其位置用虚线洋红和黑色箭头标记，而变换后的矢量及其位置用实心洋红和黑色箭头标记。原始向量的大小，即𝐸₀，不受任何转换的影响。对称变换始终由红色双头箭头标记。旋转操作始终相对于z轴进行。对于镜像操作，镜像轴由红色直线表示，镜像轴y、x、+和−，如图1所示。

来自D₄组可以很容易地扩展到更一般的情况。一方面D₄组只允许一个二维不可约表示，即第五个不可约表示（图1c），因此，将相位分布限制为两种可能性，即+1，+𝑖，−1，−𝑖和+1，−𝑖，+1，+𝑖。它们对应的拓扑荷高达𝑙=±1。研究表明，D_𝑀 群允许更多的二维不可约表示，从而允许更高阶拓扑荷。允许旋转𝜋/5相关的每两个点的相位差为4𝜋/5。因此，通过全旋转进行的空间变换允许从0到2𝜋的四倍全相位变化并导致拓扑荷|𝑙|=4。另一方面，要记住，当在D₄组示例，仅涉及旋转对称。旋转对称性，组成一个小组，即C₄组，这是一个循环组。根据群论，对于D_𝑀 组中，始终存在对应的C_𝑀 组类似于D_𝑀组C_𝑀 组允许更多（准）二维不可约表示。

 

图4“本征”入射场Z分量的图示，用于保持D₁₀组。结构如a）所示，假设由金属制成（例如，完美导电体）。b–f）绘制Z结构上方圆形区域中“本征”入射场的分量。它们通过从蓝色到红色的颜色进行编码，以表示强度和相位变化。

研究表明，“本征”入射场只能激发属于相同不可约表示的同一行的感应电流。预计感应电流及其产生的散射场继承相同的相位分布。因此，如果“本征”入射场具有携带拓扑荷的螺旋相位前沿，则散射场，即散射体产生的涡旋模式，将共享相同的拓扑荷。因此，激发带有特定拓扑荷的涡旋模式的条件是，入射场与定义拓扑荷的不可约表示相匹配，即入射场沿不可约表示具有非对角投影。

满足该条件的第一种方法可以通过遵循投影算子的定义直接实现。再以风车散射体为例，重点研究拓扑荷𝑙=-1的激发。因此，叠加场可以激发带有拓扑荷𝑙=-1的涡旋模式。一方面，所需的场可以通过在自由空间中传播的电磁波很容易实现，例如，具有角度依赖性的超几何高斯模式𝑒^𝑖𝑙𝜑, 这里，𝜑是柱坐标系的方位角，它自动满足对称匹配条件。对于微波应用，对于拓扑荷𝑙=±1，圆偏振波可用于激发，这正是自旋-轨道转换的含义。另一方面，对于通过导波实现激励的应用（例如，微波频率下的反馈电网络和光学频率下的介质波导），第一种方法需要4个相位波端口，其中相位由D₄组。波形端口的数量可以快速增加到𝑀对于D_𝑀（或𝐶_𝑀)组。

研究发现，最好使用较少的端口来满足对称匹配条件。通常使用双端口馈电网络作为替代方案。馈电网络将激励一个通用的微波散射体，该散射体保持𝐶_𝑀（或𝐷_𝑀)组两个端口位于两个空间位置，这两个位置通过围绕𝑧轴旋转。最大激发给定拓扑荷𝑙(𝑙>0），可以证明几何角和动态相位必须满足一定关系𝜓+(𝑀−𝑙)Δ𝜑=2𝜋𝑁。对于-𝑙(𝑙>0）情况下，满足𝜓+𝑙Δ𝜑=2𝜋𝑁。

此外，几何角Δ𝜑仅在特殊情况下才是问题的解决方案。可以证明，对于给定的拓扑荷序𝑙, 整数值𝑚 和𝑀 总是可以找到。值得一提的是，所提出的一组公式可以看作是方程的特例。此外，设计规则可应用于任意入射场。在这里，可以调整两个任意入射场的几何角和动态相位，从而激发给定的拓扑荷。作为方程的特例，圆偏振波很容易证明这一点，它是两个线偏振波的叠加𝜋/2个旋转，但延迟的事件字段±𝜋/2。因此，通过遵循方程式中的设计规则，拓扑荷的激发始终可以以方便的方式进行设计。

研究人员设计了一个容纳D₄₈组的微波谐振器，如图5所示。众所周知，这种结构可以支持欺骗局域表面等离子体模式。首先，研究人员设计了一个五层设备，如图5c所示。第一层是谐振器。它被蚀刻在作为第二层的圆形介质板上。电介质为Rogers 4530B，相对介电常数为3.48，损耗角正切为0.0037，厚度为1.016 mm。第三层和第五层使用相同的电介质。在第三层和第五层之间，有一个金属地面作为第四层。第一层和第二层构成谐振器，第三层、第四层和底层构成馈电系统。对于后者，分别在第三介质层的上表面和第五介质层的下表面上蚀刻两条微带线。在第三层的上表面，在微带线的端部放置一个小金属盘（半径为0.5 mm），以减少微带线的端部反射并提高馈电效率。通孔（即孔的内径为0.4 mm）用于连接两条微带线。具体而言，该组中的开口（即开口半径为1.5 mm）通过四层制成，以避免通孔和馈电系统接地之间的电气连接，如图5c所示。两条微带线的宽度设置为1.1 mm，以确保输入阻抗为50 Ω。

制作的样品通过消声室中的近场扫描系统进行表征。扫描系统由矢量网络分析仪、伺服执行器、同轴近场探头和连接电缆组成。50 Ω自旋轨道角动量连接器焊接在微带线上，接收来自矢量网络分析仪的输入信号。在模拟中，第二层和第三层为圆形（图7a），因此，暴露出地面的矩形尾部（第四层），自旋角动量连接器可以直接连接到样品的地面。不幸的是，铸造厂只能制造所有层中都有矩形尾部的样品。对于产生拓扑荷为𝑙=±1、±2和±3，添加了两个附加过孔，标记为图7b中的“过孔3”和“过孔4”，以连接自旋轨道角动量连接器的接地和微带线的接地。对于产生拓扑荷为𝑙=±4，增加四个额外的过孔（除了“过孔3”和“过孔4”，还增加了两个接近“过孔3”和“过孔4”的过孔），以更好地将自旋轨道角动量连接器的接地与微带线的接地连接。在制造过程中，使用胶水将谐振器和馈电系统粘合在一起，这也可能导致模拟和实验之间的差异。

然后，研究人员数值模拟了谐振器的反射系数S₁₁，以表征共振模式，如图6a所示。图6a中分离良好的倾角表示共振。激发模式，如图6b所示。由于设计中仅使用一个端口，因此，激励模式为线性模式。这些模式是双重退化的，因为它们可以分解为两个具有相反拓扑荷的涡旋模式。例如，图6b中的四极模式m2可以分解为两个具有相同振幅分布和拓扑荷-2和+2的涡旋模式。这一点以后会更加清楚。这种简并是结构中镜像对称的结果。

 

图5 单端口激励的微波谐振器示意图。a），b）和c）分别显示顶视图、后视图和内部详细信息。在a）中，参数为r_i=4.5 mm、r_m=10.4 mm、r₂=15 mm和r_d=32 mm。

 

图6 单端口激励微波谐振器响应示意图。a）给出装置的反射系数S₁₁，其中倾角分别为𝑚₁−𝑚₄和𝑀₃−𝑀₄。b）图示a中倾角处电场分布Z分量的实部。在b）中，黑色虚线圆圈标记谐振器所在的空间区域。在同一子批次中，黑色箭头指向过孔的位置。场的大小由蓝色到红色的颜色进行编码。

此外，通过基于方程重新设计馈电网络来激励相同的谐振器。重新设计的馈电网络由两个端口组成（图7a），其中，两个分支的宽度为0.3 mm，以确保输入阻抗约为100 Ω。在这里，演示𝑙=1详细说明。

 

图7 所提出的双端口激励微波谐振器的图示。谐振器的设计细节在a）中给出而制造的样品在b）中给出。用拓扑荷发射涡旋模式𝑙=±1，Δφ和Δd的值选择为90°和±33 mm（即Δ𝜑=𝜋/2，𝑁=11）。对于该案例𝑙=±2，Δφ和Δd的值选择为45°和±16.1 mm（即Δ𝜑=𝜋/4，𝑁=5）。对于该案例𝑙=±3，Δφ和Δd的值选择为90°和∓ 12.6 mm（即Δ𝜑=𝜋/2，𝑁=10）。对于该案例𝑙=±4，Δφ和Δd的值选择为67.5°和Δd=∓ 9.7 mm（即Δ𝜑=3𝜋/8，𝑁=7）。Δd的负值表示分支1中的延迟线长度比分支2中的延迟线长度长，反之亦然。为了获得更好的性能，优化实现不同涡旋模式的r_d值：r_d=32 mm，𝑙=±1，±2，±3， r_d=50 mm，𝑙=±4。

对于𝑙=±1，端口由几何角Δ𝜑分隔属于𝜋/2，对于𝑙=±2，Δ𝜑 属于𝜋/4。如图7a放大插图所示，两个端口通过两个通孔连接到第五介质层下表面上的延迟线。通过使用1到2的功率分配器，输入功率均匀地馈送到端口，如图7a所示。然后，研究人员引入了额外的动态相位延迟±𝜋/2。相位延迟由一条分支中长度为Δd的延迟线实现（图7a）。图8a显示了z=3 mm切割平面中Ez的模拟震级和相位分布。模拟很容易确认设计参数的选择，其中，涡旋模式对应于图6b中的𝑚₁−𝑚₄模式被激发。为了简洁起见，研究人员给出了对应于𝑀₃和𝑀₄。为了验证设计，研究人员制造了谐振器和四个馈电网络（图7b）。然后，研究人员测量了𝐸𝑧 在样品上方z=10 mm处80×80 mm²的面积上（图8b）。实验由一个近场扫描系统进行，其步长约为1.6 mm。尤其是，为了节省扫描时间，图7b中用于测量样品的步长选择为2.0 mm。测量的级和相位图𝑙=±1、±2和±3清楚地证明了样品中心的零强度点和螺旋相前沿，承载着拓扑荷级。对于以下情况：𝑙=±4在图8b中，可以清楚地观察到拓扑荷为±4的涡旋模式被激发。然而，由于制造困难，实验中使用的馈电网络与模拟中使用的馈电网络略有不同。与模拟结果相比，整个相位和幅值分布略微模糊。对于所有情况𝑙=±1、±2、±3和±4，由于制造误差，微波谐振器的工作频率与馈电网络的工作频率之间存在不匹配。因此，对称匹配条件不能完全满足。因此，不仅具有所需拓扑荷的涡旋模式被激发，而且具有相反拓扑荷的涡旋模式也被轻微激发。最后，这导致了实验测量的𝐸𝑧，如图8所示，在模拟中显示类似多极而非甜甜圈的图案。

 

图8 模拟和实验获得的𝐸𝑧 分别如a）和b）所示。数值结果是在𝑧=3 mm而实验是在𝑧=10 mm。震级和相位由蓝色到红色的颜色进行编码。