近年来，得益于光学、电子和计算机等各项技术的进步以及新算法的不断提出，计算全息技术飞速发展。由于现有液晶空间光调制器对于纯相位全息图具有更高的调制能力与衍射效率，纯相位全息图优化算法一直以来都是研究热点。目前，各种传统方法可以满足不同的计算耗时与重建质量要求，而深度学习、维尔丁格流等新方法为纯相位全息图优化带来了新的思路，这些工作都有利于实时、广视场、高质量全息三维显示的早日实现。
近日，美国纽约大学的卜浩祯和深圳鹏城实验室的焦述铭博士在《液晶与显示》(ESCI,核心期刊)上发表了题为“纯相位全息图优化算法综述”文章，文中按照迭代方法、非迭代方法以及其他方法为分类标准，对纯相位全息图生成与优化算法进行了全面系统地总结，并对未来研究方向进行了展望。
1 引言
三维立体显示技术在近年来得到了飞速发展，在各个领域的应用也层出不穷。作为实现三维立体显示的一种方式，全息成像技术运用光的干涉与衍射对光场波前进行记录与重建。由于全息图包含了所记录物体的全部形状和深度信息，被认为是三维显示的终极最佳方式。
计算机生成全息图技术（Computer-generated hologram，CGH）在近几年得到快速地发展。该技术可以对计算机上的数字物体模型进行全息三维显示，其流程如下：给定任意图像，首先利用CGH算法生成一幅全息图，再利用空间光调制器加载，之后通过激光照射，在全息图上发生衍射，最终在重建平面形成原始图像的光学重建。
由于在实际应用中，绝大多数可用的空间光调制设备只能有效地调制光波的相位或者振幅之一，因此需要生成的全息图只包含相位信息或振幅信息。另外，由于相较于纯振幅空间光调制器，纯相位空间光调制器拥有理论上的更高衍射效率，因此纯相位全息图是当前计算机生成全息图的主流编码方式。然而，这种纯相位的编码使得对于全息图生成问题，并不存在一个简单准确的直接解，而是要通过近似去取得最优解。
过去的几十年间，计算机生成纯相位全息图算法层出不穷，其核心就是纯相位全息图优化问题：给定一个复振幅全息图（Complex-Amplitude Hologram），将其编码成一个最优化的纯相位全息图（Phase-Only Hologram），同时保证重建图像质量尽可能不降低。这些方法主要可以分为三类：迭代方法、非迭代方法与其他方法。
迭代算法通常由一个对目标全息图的近似出发，经过一系列的迭代操作不断优化全息图，直到该近似所得到的重建图像满足一定的误差要求。
2.1 Gerchberg-Saxton算法
Gerchberg-Saxton（GS）算法是一种比较具有代表性的算法，该类算法的特点是通过傅立叶或菲涅尔变换在两个平面之间反复进行光场正向和反向传播，并施加限制条件，直到生成的纯相位全息图符合要求。其流程图如图2.。
图2. Gerchberg-Saxton（GS）算法流程图
2.2 误差扩散算法
误差扩散算法（Error Diffusion Method）是另一种类型的迭代算法，该算法会在全息图平面的各个像素之间迭代。当复振幅全息图的振幅信息被直接移除时，每个像素点都会产生误差，而误差扩散算法将逐个扫描像素点，并将每个像素点的误差按照一定权重向尚未扫描到的四个相邻像素点扩散。图3展示了单向误差扩散算法。在单向误差扩散的基础之上，双向误差扩散算法的奇数行与偶数行的扫描方向是相反的，这种双向扫描方式会抵消部分由单向扫描所带来的相关性误差，进而取得更高的重建准确度。
3 非迭代方法
非迭代算法不需要重复的大量优化计算，会根据指定步骤一次性给出近似解。
3.1 随机相位方法
在复振幅全息图纯相位化的过程中，随机相位方法是一种常用的非迭代方法。由于纯相位全息编码相当于高频滤波过程，重建图像只包括原始图像的边界与线条部分，因此需要引入随机相位掩膜（Random Phase Mask）使原始图像的波前分散至整幅全息图以提高重建质量，然而随之而来的斑点噪声也较明显。为了减少这种斑点噪声，近期有一种改进的随机相位方法，该方法会针对不同的图像，引入具有不同频率的随机相位掩膜以进一步减少信息损失和提高重建质量。
3.2 其他非迭代算法
除了随机相位掩膜方法以外，还有很多可以用于减少斑点噪声的非迭代方法，如采用下采样掩膜的采样纯相位全息图（Sampled-Phase-only Hologram）方法、模式化相位掩膜（Patterned Phase-Only Hologram）方法、双相位方法（Double-Phase Method），以及使用非随机相位掩膜的方法（Random Phase-Free Method）。
4 其他方法
4.1 直接算法
假设纯相位全息图有M×N个像素，每个像素点的相位值有Q种可能取值，则纯相位全息图生成问题的搜索空间为M×N×Q，目标是找到重建图像与原始图像误差最小的全息图所有像素值。直接算法主要有三类：直接搜索算法（Direct Search Algorithm）、模拟退火算法（Simulated Annealing Algorithm）以及遗传算法（Genetic Algorithm）。这三种算法的比较如下：
表1 三种直接算法的比较
4.2 迭代与非迭代结合类算法
介于迭代算法与非迭代算法两种分类之间的纯相位全息图生成算法于近年被提出。2018年，Alejandro提出了一种迭代预处理与非迭代相结合的算法，该算法利用传统的GS算法，首先针对一个光学系统的分辨率、像素点尺寸以及目标物体尺寸去计算出该系统一个最优化的相位掩膜（Optimized Random Phase，ORAP），之后再用该系统与其对应的最优化掩膜去计算其他任意目标图像的纯相位全息图，而不再需要迭代计算。相较于GS算法，该算法的缺陷在于需要事先知道目标图像的尺寸及分辨率信息，然而该方法节省了大量的计算时间，同时保持着较高的重建准确度，适合全息动态实时显示等应用。
4.3 基于深度学习的计算全息方法
近年来快速发展的深度学习方法也被用于全息图压缩以及生成。最近的一种高质量实时计算机生成纯相位全息图算法运用了最大梯度下降法（Steepest-Gradient-Descent Method），以及Camera-In-The-Loop（CITL）技术。在每次循环中，CITL技术可以直接捕捉到全息图的光学重建结果，并且将该结果用于对全息图的进一步优化，并能够取得较高的重建质量。
4.4 基于Wirtinger Flow的相位提取方法
由Chakravarthy等人提出的基于维尔丁格流（Wirtinger Flow）的相位提取方法可以将相位提取问题转化为可用一阶优化算法（First-Order Optimization Method）进行优化的二次问题（Quadratic Problem）。运用该相位提取方法进行全息图优化可以使重建质量达到极高的准确度，而计算成本则仅与GS算法相当。
5 结论与展望
以Gerchberg-Saxton为代表的迭代性算法的特点是利用傅立叶变换或菲涅尔变换在两个平面间多次进行光场传播，并辅以灵活度极高的限制条件，可以通过较高的计算负荷取得很好的重建图像准确度。作为另一种迭代性方法，误差扩散方法所需的计算量会更小一些，而且无需原始图像的信息便可以直接由复振幅全息图生成纯相位全息图，并能取得不错的重建图像质量。而随机相位方法、下采样方法以及双相位方法等非迭代性算法都能获得包含一定噪声的重建结果，计算负荷很小，十分符合实时全息显示的需求。
目前，传统的迭代与非迭代的纯相位全息图优化算法都已经取得了不错的效果，但需要在计算耗时与重建质量间做出取舍，深度学习、维尔丁格流等新方法的不断出现为解决这一问题带来了新的思路，这些工作都有利于实时、广视场、高质量全息三维显示的早日实现。
卜浩祯, 焦述铭. 纯相位全息图优化算法[J]. 液晶与显示, 2021, 36(6):810-826.
DOI：10.37188/CJLCD.2021-0035
http://cjlcd.lightpublishing.cn/thesisDetails#10.37188/CJLCD.2021-0035
