100年后，这个经典物理模型再次被点亮

西湖大学2024级新生礼品

7月14日，西湖大学特聘研究员朱伟及合作者何寅琛（Perimeter Institute）、韩超（西湖大学）、Emilie Huffman（Perimeter Institute）、Johannes Hofmann(Weizmann Institute)，在国际基础科学大会上获得理论物理前沿科学奖(Frontier Science Award)，以表彰他们所提出的全新方法以研究三维相变和理解相变的共形场论特征。

国际基础科学大会（International Congress of Basic Science），由菲尔兹奖首位华人得主丘成桐先生发起，是由北京市人民政府、科学技术部、中国科学技术协会及世界华人数学家联盟主办的国际基础科学领域的顶级学术盛会，创办于2023年。

两天前，西湖大学2024级本科生的录取通知书里，放置了一个以三维伊辛模型为雏形的摆件：胡桃木底座上拼接着透明亚克力立方体，点亮之后，其中隐约呈现了一个朦胧的球体，周围刻着一些陌生的公式，显得神秘而深邃。

很多人会问：“什么是伊辛模型？”

伊辛模型，最早在上世纪20年代所提出，是描述磁性相变的一个基本模型。从1924年伊辛（Ernst Ising）发现该模型在一维情况的严格解开始，对这一模型的研究已经持续百年，历久而弥新。

伊辛模型被称为“最难求和”，一个看似简单的相变问题，何以展现出如此魅力？当西湖大学新生点亮这份礼物时，当朱伟和合作者获得这个奖项时，这个问题正好穿越了100年。

01

相与相变

相，是指一个宏观物理系统所具有的一组状态。比如，我们通常认为的物质三种基本状态——固态、液态、气态。

物质从一种相转变为另一种相就是相变，可以是气液固三态间的转化，也可以是铁磁体变成顺磁体，或者超导物质在正常导电态与超导态之间的转变，以及正常液氦与超流动性液氦之间的转变，等等。

伊辛模型，就是从研究磁性转变开始的。在磁铁中，局域自旋的方向自发地平行排列起来，在宏观上形成磁矩并对外表现出磁性。加热到一定程度后，这种有序排列被破坏，磁性消失。磁性相变，不过是无数自旋是一致还是混乱所“竞争”产生的结果。伊辛模型就是描述这种磁性相变的最简洁的数学模型。

但简洁并不一定简单。由于计算量巨大，最开始，伊辛只能先尝试把这个模型在一维来研究，发现相变点只会出现在热力学绝对零度。材料是三维的，一维模型显然无能为力。伊辛和导师楞次试图把模型推广至二维和三维，但都失败了。

1944年，拉斯·昂萨格（Lars Onsager）证明了二维伊辛模型存在非零温的相变点，并给出了相变点的解析解。

之后来自实验物理的数据更是点亮了这个模型。科学家们通过对氩和氦的测定，发现这些物质的“临界指数”和拉斯·昂萨格计算的解完美吻合，这些指数是1/8或者7/4这样的数字，它们描述了相变前，例如像热容、磁化率等各种物理量在临界点附近的变化速度。

不同的物质系统，比如气液相变、铁磁相变，它们在连续相变的那一刻，展现出近乎一致的普适性行为。如果我们把物质的相变，理解成一种行为，它们的行为，有时候会出现惊奇的一致性，是什么驱动了这种一致性？

在相变的那一刻，物质既是这种状态，又是另一种状态。既是，又不是，既不是，又是。

 

02

为什么三维难解？

走进西湖大学理学院的各个办公室，黑板和粉笔是标配。在这黑白之间，带着我们所共同相信的逻辑和推理，世界在符号间逐步展开。

西湖大学理学院，以探索物质世界的奥秘为目标，以吴从军讲席教授为骨干的物理系教授们在物相的探索上取得了许多成果，比如何睿华教授发现新的光阴极材料、林效教授发现时间反演破缺超导电性，等等。

朱伟是理学院物理系的一员，他的办公室的布置如下：电脑桌被放置在房间一角，这台电脑，连接的是学校的超算中心。边上一张写字台，上面几乎只有草稿纸。写字台对过去的，是一整面的黑板。朱伟说：

“你看，是不是很空旷？”

我本来想开玩笑说，简直“家徒四壁”。但看到黑板上写满了密密麻麻的我看不懂的推导过程，把话又咽了下去。

在这间办公室，朱伟与合作者完成了关于三维伊辛模型的一种全新的理论构建。奇妙的是，这种“独辟蹊径”的构建方式展现出了惊人的结果。

1944年，昂萨格完成的壮举，其实还只是攀登伊辛模型的一个悬崖峭壁，山顶在哪里？我们甚至还不知道，只是奇迹还在展开。1970年，物理学家亚历山大·波利亚科夫（Alexander Polyakov）证明了，二维伊辛模型在其临界点会表现出共形不变性。什么是共形不变性？不管你如何平移、缩放、旋转这个系统，整个系统都是不变的。这就意味着在相变发生的时候，不论微观细节如何变化，系统的全局行为也不会改变。

最简单的例子，你用放大镜看一个角，角的度数不会变，你旋转这个角，角的度数不会变，你移动这个角，角的度数不会变。这些分别对应了缩放不变性，旋转不变性，平移不变性。

二维的伊辛模型在相变点上呈现出来的共形不变性，已经被证明。但是三维伊辛模型的共形不变性证明，至今仍然是未解之谜。

“也许是我们这个三维世界足够特殊。”朱伟说。虽然没有严格证明，但模拟计算已经显现共形不变性的光芒。

相变，是一个相，转变到另一个相的过程。而在这个“世界边缘”，展现出来的奇迹，是一种无尽的自由之美，一个可以任意旋转、自由穿行、随心缩放的世界。

03

世界是连续的吗？

水经高温变到水蒸气，磁铁加热失去磁性，这些其实是因为热力学因素发生的相变。那如果热力学温度为零，也就是趋近于绝对零度时，是否还存在相变现象？

是的，欢迎来到量子的世界，以及这次模型所描述的——量子相变。

量子相变是指发生在绝对零度的相变现象。与热相变不同的是，热相变的发生是由于热扰动所造成，而量子相变是经由量子涨落所造成。

真空不空。“真空之海”还有能量的产生和湮灭，而这些起伏会影响电子的状态，让系统产生相变。

2019年，朱伟和合作者开始讨论研究量子相变，其主要思想延续伊辛模型，但他们做了一次“冒险”。

之前的二维伊辛模型，构建在平直的空间里，如同棋盘平面，计算相邻格点之间的影响。朱伟和团队将二维平面转到了二维球面之上。

原本棋盘上的每一个点，他们是分离的，而在球面上，无法构建出像棋盘一样的格点布局。球面上的每一个点，是连续而自由的，可以用极坐标来定义它。

这就从数学上的离散，走向了连续。而球面上的每一个点，距离球心的距离都是相等的，这种结构，本身就充满了对称之美，没有边界，彼此相连。

基于此，朱伟和团队构造了一个2+1维的量子伊辛模型，它和经典的三维伊辛模型等价。

朱伟和团队构建的2+1维量子伊辛模型

神奇的是，这种方法给出了近乎准确的计算结果，通过与共形场论的理论预言进行比较，发现两者达成了惊人的一致性。之前，平直空间的伊辛模型，需要尽可能多的格点进行计算（通常是“亿”数量级），而在这个模型里，仅仅16个量子自旋已经可以拿到非常好的结果。

更为重要的是，该工作还获得了一些共形场论相关的其他数值计算方法暂时未能给出的新结果。这是一种完全不同、更加高效的理论与计算方法。

“这是一次有限体系对无限世界的模拟，并将我们对这一古老模型的认知提升到了一个前所未有的层次。”西湖大学讲席教授吴从军如是评价道。

伊辛模型是描述无数个体状态如何最终影响整体的模型，在神经研究、社会学、经济学都有应用。甚至，在你小学班级上，讨论要去哪春游的时候，每个人的意见会相互影响，最终竞争产生一个结果，这也类似于伊辛模型所描述的。

而一次新的理论探索，也会留下了更多的想象空间。为什么三维的伊辛模型至今难解？三维特殊在哪？为什么球面的构造优于平面的构造？为什么连续的构造，优于离散？世界是连续的吗？

不管如何，这个简单模型展示出来的复杂魅力，还在继续。

西湖大学强关联与拓扑物性实验室

西湖大学强关联与拓扑理论课题组主要从事凝聚态物理学以及量子多体体系的理论研究，重点关注凝聚态物理学中的诸多关键问题，包括（但不局限于）强关联体系中的拓扑有序相、量子磁性、量子相变及量子临界行为等，同时探索量子纠缠与关联效应的深刻联系。

研究内容详情请见课题组网页：

https://quantum-many-body-theory.lab.westlake.edu.cn/index.html